كتاب الرياضيات الجديد ينقذ دليل طوبولوجيا لاندمارك

 ايهاب محمد زايد-مصر

 كان دليل مايكل فريدمان البالغ 1981 على تخمين بوانكاريه رباعي الأبعاد على وشك الضياع. محررو كتاب جديد يحاولون حفظه. كانت واحدة من أهم قطع المعرفة الرياضية على وشك الضياع ، ربما إلى الأبد. الآن ، يأمل كتاب جديد في حفظه.

 تعيد نظرية تضمين القرص كتابة إثبات أكمله مايكل فريدمان في عام 1981 – حول شبكة لا نهائية من الأقراص – بعد سنوات من الكد الانفرادي على ساحل كاليفورنيا. أجاب دليل فريدمان على سؤال كان في ذلك الوقت أحد أهم الأسئلة التي لم يتم حلها في الرياضيات ، والمشكلة المحددة في مجال فريدمان ، الطوبولوجيا.

 شعرت برهان فريدمان بأنه معجزة. لم يعتقد أحد في ذلك الوقت أنه يمكن أن ينجح – حتى أقنع فريدمان شخصيًا بعضًا من أكثر الأشخاص احترامًا في هذا المجال. لكن بينما انتصر على معاصريه ، فإن الدليل المكتوب مليء بالفجوات والإغفالات بحيث يستحيل اتباع منطقه ما لم يكن لديك فريدمان ، أو أي شخص تعلم منه الدليل ، يقف فوق كتفك يرشدك.

 قال فريدمان ، الذي يقود اليوم مجموعة أبحاث Microsoft في جامعة كاليفورنيا ، سانتا باربرا التي تركز على بناء كمبيوتر كمي: “ربما لم أتعامل مع عرض المواد المكتوبة بعناية كما ينبغي”.

 اليوم ، عدد قليل من علماء الرياضيات يفهمون ما فعله ، وأولئك الذين يفعلون ذلك يتقدمون في السن خارج المجال. والنتيجة هي أن البحث الذي يتضمن إثباته قد ذبل. لم يحصل أي شخص تقريبًا على النتيجة الرئيسية ، بل إن بعض علماء الرياضيات تساءلوا عما إذا كانت صحيحة على الإطلاق.

 في منشور عام 2012 على MathOverflow ، أشار أحد المعلقين إلى الدليل على أنه “فظاعة من الورقة” وقال إنه “لم يقابل أبدًا عالم رياضيات يمكنه إقناعي بأنه فهم إثبات فريدمان”.

 الكتاب الجديد هو أفضل جهد حتى الآن لإصلاح الوضع. إنه تعاون من قبل خمسة باحثين شباب مفتونين بجمال برهان فريدمان وأرادوا منحه حياة جديدة. أكثر من 500 صفحة ، توضح خطوات حجة فريدمان بالتفصيل الكامل ، باستخدام مصطلحات واضحة ومتسقة. كان الهدف هو تحويل هذا الجزء المهم ولكن الذي يتعذر الوصول إليه من الرياضيات إلى شيء يمكن أن يتعلمه طالب جامعي متحمس في فصل دراسي.

 قال أرونيما راي من معهد ماكس بلانك للرياضيات في بون ، المحرر المشارك للكتاب مع ستيفان بيرينز من جامعة بيليفيلد ، بولديزسار كالمار من جامعة بودابست للتكنولوجيا والاقتصاد ، مين. هون كيم من جامعة تشونام الوطنية في كوريا الجنوبية ، ومارك باول من جامعة دورهام في المملكة المتحدة “كل شيء مسمر.”

 في عام 1974 ، كان مايكل فريدمان يبلغ من العمر 23 عامًا ، وكان يراقب واحدة من أكبر المشكلات في الطوبولوجيا ، وهو مجال الرياضيات الذي يدرس الخصائص الأساسية للمساحات ، أو المشعبات ، كما يشير إليها علماء الرياضيات.

 كان يسمى تخمين بوانكاريه ، على اسم عالم الرياضيات الفرنسي هنري بوانكاريه ، الذي طرحه في عام 1904. تنبأ بوانكاريه بأن أي شكل أو متشعب له خصائص عامة معينة يجب أن يكون مكافئًا أو متماثلًا للكرة. (متشعبان متماثلان عندما يمكنك أخذ جميع النقاط على أحدهما وتعيينها إلى نقاط على الآخر مع الحفاظ على مسافات نسبية بين النقاط ، بحيث تظل النقاط القريبة من بعضها في المشعب الأول قريبة من بعضها في الثانية).

 كان بوانكاريه يفكر على وجه التحديد في المشعبات ثلاثية الأبعاد ، لكن علماء الرياضيات ذهبوا إلى النظر في المشعبات من جميع الأبعاد. وتساءلوا أيضًا عما إذا كان التخمين قائمًا لنوعين من المشعبات. النوع الأول ، المعروف باسم المشعب “السلس” ، لا يحتوي على أي ميزات مثل الزوايا الحادة ، مما يسمح لك بإجراء حساب التفاضل والتكامل في كل نقطة. الثاني ، المعروف باسم متشعب “طوبولوجي” ، يمكن أن يكون له زوايا يكون فيها حساب التفاضل والتكامل مستحيلاً.

 

 بعد عقود من إكماله ، أيد فريدمان إعادة كتابة برهانه لأنه وجد أنه من المخيف التفكير في أنه قد يضيع لولا ذلك.

 

 بحلول الوقت الذي بدأ فيه فريدمان العمل على المشكلة ، كان علماء الرياضيات قد أحرزوا تقدمًا كبيرًا في التخمين ، بما في ذلك حل النسخة الطوبولوجية منها في الأبعاد 5 وما فوق.

 ركز فريدمان على التخمين الطوبولوجي رباعي الأبعاد. وذكر أن أي مشعب طوبولوجي يمثل كرة “تماثلية” رباعية الأبعاد ، والتي تعادل بشكل فضفاض كرة رباعية الأبعاد ، هي في الواقع متجانسة الشكل (مكافئة بشدة) للكرة رباعية الأبعاد.

 “السؤال الذي نطرحه هو ، [بالنسبة للكرة الأربعة] ، هل هناك فرق بين هذين المفهومين للتكافؤ؟” قال راي.

 يمكن القول إن النسخة رباعية الأبعاد كانت أصعب نسخة من مشكلة بوانكاريه. ويرجع ذلك جزئيًا إلى حقيقة أن الأدوات التي استخدمها علماء الرياضيات لحل التخمين في أبعاد أعلى لا تعمل في الإعداد الأكثر تقييدًا المكون من أربعة أبعاد. (المنافس الآخر على أصعب نسخة من السؤال هو تخمين بوانكاريه ثلاثي الأبعاد ، والذي لم يتم حله حتى عام 2002 ، بواسطة غريغوري بيرلمان.)

 في الوقت الذي بدأ فيه فريدمان العمل ، لم يكن لدى أي شخص أي فكرة مطورة تمامًا عن كيفية حلها – بمعنى أنه إذا كان سينجح ، فسيتعين عليه اختراع رياضيات جديدة تمامًا.

 المنحنيات المهمة

 قبل الدخول في كيفية إثباته تخمين بوانكاريه ، يجدر بنا البحث أكثر قليلاً عما يطرحه السؤال حقًا.

 يمكن تمييز الكرة المتجانسة رباعية الأبعاد بالطريقة التي تتفاعل بها المنحنيات المرسومة بداخلها مع بعضها البعض: يخبرك التفاعل بشيء أساسي حول المساحة الأكبر التي يتفاعلون فيها.

 في الحالة رباعية الأبعاد ، ستكون هذه المنحنيات عبارة عن مستويات ثنائية الأبعاد (وبشكل عام ، ستكون المنحنيات على الأكثر نصف أبعاد المساحة الأكبر المرسومة بداخلها). لفهم الإعداد الأساسي ، من الأسهل التفكير في مثال أبسط يتضمن منحنيات أحادية البعد تتقاطع داخل فضاء ثنائي الأبعاد ، مثل هذا:

 

 هذه المنحنيات لها ما يسمى رقم التقاطع الجبري. لحساب هذا الرقم ، اعمل من اليسار إلى اليمين وقم بتعيين 1 لكل مكان يتقاطع فيه القوس صعودًا و +1 لكل مكان يتقاطع فيه القوس. في هذا المثال ، يحصل التقاطع الموجود في أقصى اليسار على −1 بينما يحصل التقاطع الموجود في أقصى اليمين على +1. اجمعهم معًا وستحصل على رقم التقاطع الجبري لهذين المنحنيين: 0.

 تتميز الكرة المتجانسة بميزة أن أي زوج من المنحنيات نصف الأبعاد المرسومة بداخلها لها رقم تقاطع جبري يساوي 0.

 هذا صحيح بالنسبة للكرة العادية أيضًا. لكن الكرة المنتظمة لها أيضًا خاصية مختلفة قليلاً تتعلق بالتقاطعات: يمكنك دائمًا رسم منحنيين بحيث لا يتقاطعان على الإطلاق. لذا ، في حين أن الكرة المتجانسة لها خاصية أن زوجًا من المنحنيات له دائمًا رقم تقاطع جبري يساوي 0 ، فإن الكرة المنتظمة لها خاصية أن أي زوج من المنحنيات يمكن فصلهما عن بعضهما البعض بحيث يكون لهما رقم تقاطع هندسي يساوي 0. أي أنها لا تتقاطع على الإطلاق.

 لكي يثبت فريدمان تخمين بوانكاريه رباعي الأبعاد ، كان بحاجة إلى إظهار أنه من الممكن دائمًا أخذ أزواج معينة من المنحنيات مع تقاطع جبري 0 و “دفعهم” بعيدًا عن بعضهم البعض بحيث يظل رقم التقاطع الهندسي الخاص بهم صفرًا. إذا كان لديك أزواج من المنحنيات مع تقاطع جبري 0 ، وأنت تثبت أنه يمكنك دائمًا فصلها عن بعضها ، فأنت تثبت أن المساحة المضمنة فيها يجب أن تكون المجال المنتظم.

 قال راي: “إنه مثل التباعد الاجتماعي لعديدات الطيات الجزئية نصف الأبعاد”.

 كان العمل السابق على الإصدارات عالية الأبعاد للمشكلة قد وضع طريقة للقيام بذلك. تضمنت البحث عن كائنات تسمى أقراص ويتني ، وهي مسافات مسطحة ثنائية الأبعاد تحدها المنحنيات التي تريد فصلها.

 تصبح هذه الأقراص نوعًا من الدليل لعملية حسابية تسمى النظائر حيث تقوم بتحريك منحنيين بعيدًا عن بعضهما البعض. يضمن وجود أقراص Whitney المسطحة أنه من الممكن إزاحة منحنى الانحناء لأسفل تدريجيًا. أثناء القيام بذلك ، يبدأ القرص في الاختفاء ، مثل غروب الشمس. في النهاية ، يختفي القرص تمامًا ، وتم فصل المنحنيات.

 “قرص ويتني يمنحك مسار النظائر. أنت تقوم بتحريك منحنى واحد باستمرار حتى يتم فصل المنحنيين. قال راي “القرص يشبه خارطة طريق لهذه العملية”.

 كانت مهمة فريدمان الرئيسية ، وهو يواجه تخمين بوانكاريه رباعي الأبعاد ، إثبات أن أقراص ويتني المسطحة هذه كانت موجودة كلما كان لديك زوج من المنحنيات المتقاطعة مع تقاطع جبري 0. .

 

 أثناء عمل فريدمان ، واجه حجر عثرة خاص يأتي بأربعة أبعاد. لقد احتاج إلى إثبات أنه من الممكن دائمًا فصل المنحنيات المتقاطعة ثنائية الأبعاد – لدفعها بعيدًا عن بعضها البعض – وللقيام بذلك ، كان عليه إثبات وجود أقراص ويتني ، والتي تضمن إمكانية الفصل.

 تكمن المشكلة في أنه في أربعة أبعاد ، يمكن لأقراص ويتني ثنائية الأبعاد أن تتقاطع مع بعضها البعض ، بدلاً من الاستلقاء بشكل مسطح. تشكل الأماكن التي يتقاطع فيها القرص مع نفسه عوائق أمام عملية انزلاق أحد المنحنيات عن الآخر. يمكنك التفكير في التقاطع الذاتي كعقبة تلتقط أحد منحنياتك وأنت تحاول سحبها من الأخرى.

 قال راي: “كان من المفترض أن يساعدني القرص ، لكن اتضح أن القرص يتقاطع أيضًا مع نفسه”.

 لذلك احتاج فريدمان لإثبات أنه من الممكن دائمًا التراجع عن الأماكن التي تتقاطع فيها أقراص ويتني مع بعضها البعض ، ووضعها بشكل مسطح ثم المضي قدمًا في الفصل. لحسن الحظ بالنسبة له ، لن يبدأ من الصفر. في السبعينيات ، ابتكر عالم رياضيات يُدعى أندرو كاسون استراتيجية لإزالة التقاطعات الذاتية من الأقراص.

 الهدف من الأقراص هو إثبات أنه من الممكن فصل المنحنيات بحيث لا تتقاطع. إذا كان القرص نفسه يحتوي على تقاطع ، فإن طريقة تخفيفه هي نفسها: ابحث عن قرص ثانٍ محاط بالأجزاء المتقاطعة من القرص الأول. إذا وجدت هذا القرص الثاني ، فأنت تعلم أنه يمكنك تسوية التقاطع في القرص الأول.

 

 حسنًا ، ولكن ماذا لو كان القرص الثاني – الذي يساعد القرص الأول – يتقاطع أيضًا مع نفسه؟ ثم تبحث عن قرص ثالث موجود في القرص الثاني. ومع ذلك ، يمكن أن يتقاطع هذا القرص مع نفسه أيضًا ، لذلك تبحث عن قرص رابع ، وتستمر العملية ، إلى الأبد ، مما ينتج عنه كومة لا نهائية من الأقراص داخل الأقراص – كل ذلك على أمل إنشاء القرص الأصلي ، على طول الطريق في الجزء السفلي ، بحيث لا تتقاطع مع نفسها.

 أثبت كاسون أن “مقابض كاسون” هذه مكافئة بشكل فضفاض لأقراص ويتني الفعلية – المكافئ المتماثل ، لتوضيح الأمر بشكل أكثر دقة – واستخدم هذا التكافؤ للتحقيق في العديد من الأسئلة المهمة في الطوبولوجيا رباعية الأبعاد. لكنه لم يستطع إثبات أن مقابض “كاسون” مكافئة للأقراص بمعنى أقوى – أنها متماثلة مع الأقراص. هذا التكافؤ الأقوى هو ما يحتاجه علماء الرياضيات من أجل استخدام المقابض لإثبات أكبر سؤال مفتوح للجميع.

 قال راي: “إذا أظهرنا أن هذه أقراص حقيقية من الصدق إلى الجودة ، فيمكننا إثبات تخمين بوانكاريه ومجموعة كاملة من الأشياء الأخرى في البعد الرابع”. “لكن [كاسون] لم يستطع فعل ذلك.”

 انسايت فريدمان

 استغرق الأمر من فريدمان سبع سنوات ، من 1974 إلى 1981 ، لكنه تمكن من إدارتها. في معظم ذلك الوقت ، بالكاد تحدث إلى أي شخص عما كان عليه ، باستثناء زميله الأكبر روبرت إدواردز ، الذي عمل كنوع من المرشد.

 “لقد حبس نفسه لمدة سبع سنوات في [سان دييغو] ليفكر في هذا الأمر. قال بيتر تيتشنر من معهد ماكس بلانك للرياضيات: “لم يتفاعل كثيرًا مع أي شخص آخر بينما كان يدرك ذلك”.

 كان روبيون كيربي ، الذي يعمل حاليًا في جامعة كاليفورنيا ، بيركلي ، من أوائل علماء الرياضيات الذين تعلموا عن برهان فريدمان. لتقييم حجم النتائج الرياضية الرئيسية ، يحاول كيربي تخيل المدة التي كان يمكن أن يستغرقها قبل أن يأتي بها شخص آخر ، وبواسطة دليل فريدمان القياسي هذا هو أكثر النتائج المدهشة التي شهدها كيربي في حياته المهنية الطويلة.

 قال كيربي: “إذا لم يكن قد فعل ذلك ، لا أستطيع أن أتخيل من سيحصل عليه ، لا أعرف إلى متى”.

 

 مايكل فريدمان في أوائل العشرينات من عمره. كان إثباته النهائي لتخمين بوانكاريه رباعي الأبعاد أحد أكثر النتائج جرأة في تاريخ الرياضيات.

 

 احتاج فريدمان لإثبات أن مقابض Casson كانت مكافئة بشدة لأقراص Whitney المسطحة: إذا كان لديك مقبض Casson ، فلديك قرص Whitney ، وإذا كان لديك قرص Whitney ، فيمكنك فصل المنحنيات ، وإذا كان بإمكانك فصل المنحنيات ، فأنت ‘ لقد أثبتنا أن مجال التماثل المتماثل متماثل مع الكرة الفعلية.

 كانت استراتيجيته هي إظهار أنه يمكنك بناء كلا الجسمين – مقبض Casson وقرص Whitney المسطح – من نفس مجموعة القطع. كانت الفكرة أنه إذا كان بإمكانك بناء شيئين من نفس القطع ، فيجب أن يكونا متكافئين إلى حد ما. بدأ فريدمان عملية البناء وتخطى الأمر كثيرًا: لقد تمكن من بناء كل مقبض Casson تقريبًا وجميع الأقراص تقريبًا بنفس المكونات.

 ولكن كانت هناك أماكن لم يستطع فيها إكمال الصورة تمامًا – كما لو كان ينشئ صورة شخصية وكانت هناك بعض جوانب وجه موضوعه الذي لا يمكنه رؤيته. كانت خطوته الأخيرة ، إذن ، هي إثبات أن تلك الفجوات في صورته – الأماكن التي لا يستطيع رؤيتها – لم تكن مهمة من وجهة نظر نوع التكافؤ الذي يسعى وراءه. أي أن الثغرات الموجودة في الصورة لا يمكن أن تمنع مقبض Casson من أن يكون متماثلًا للقرص ، بغض النظر عن محتواه.

 “لدي اثنين من أحجية الصور المقطوعة و 99 من أصل 100 قطعة متطابقة. هل هذه الأجزاء المتبقية تغير مساحتي بالفعل؟ قال راي: “أظهر فريدمان أنهم ليسوا كذلك”.

 لأداء هذه الخطوة الأخيرة ، اعتمد فريدمان على تقنيات من منطقة في الرياضيات تسمى طوبولوجيا بنج ، على اسم عالم الرياضيات آر إتش بينج ، الذي طورها في أربعينيات وخمسينيات القرن الماضي. لكنه طبقها في بيئة جديدة تمامًا للتوصل إلى نتيجة بدت تقريبًا غير معقولة – وهي أنه في النهاية ، لم تكن الفجوات مهمة.

 قال كيربي: “هذا ما جعل الدليل رائعًا للغاية وجعل من غير المحتمل أن يكتشفه أي شخص آخر”.

 أكمل فريدمان مخططه للإثبات في صيف عام 1981. وأصبحت العوامل التي من شأنها أن تعرضه لخطر الضياع في الذاكرة الرياضية بعد فترة وجيزة.

 

 أعلن فريدمان إثباته في مؤتمر صغير في جامعة كاليفورنيا ، سان دييغو ، في أغسطس من ذلك العام. حضر حوالي 10 من علماء الرياضيات الأكثر احتراما ، مع أفضل فرصة لفهم عمل فريدمان.

 قبل الحدث أرسل نسخًا من مخطوطة مكتوبة بخط اليد مؤلفة من 20 صفحة تحدد دليله. في الأمسية الثانية للمؤتمر ، بدأ فريدمان في تقديم عمله. لم يستطع إنهاء جلسة واحدة ، لذا انتقل حديثه إلى الليلة التالية. عندما انتهى ، كان جمهوره الصغير في حيرة من أمره – ومن بينهم معلم فريدمان ، إدواردز. في مقابلة عام 2019 حول الإجراءات ، أشار إدواردز إلى الشعور بالصدمة – والتشكيك – الذي استقبل به حديث فريدمان.

 قال إدواردز: “أعتقد أنه من العدل أن نقول إن كل فرد في الجمهور وجد عروضه التقديمية محيرة للعقل وغير مفهومة ، معتقدًا أن أفكاره كانت مجنونة ومجنونة”.

 بدا دليل فريدمان غير محتمل في جزء كبير منه لأنه لم يتم تجسيده في الواقع. كان لديه فكرة عن الكيفية التي يجب أن يسير بها الدليل ، وكان لديه حدس قوي شبه خارق للطبيعة بأن هذا النهج سيعمل. لكنه في الواقع لم ينجزها على طول الطريق.

 قال كيربي ، الذي حضر المؤتمر أيضًا: “لم أستطع أن أتخيل كيف كان لدى مايك الجرأة لإعلان دليل عندما كان مهتزًا للغاية بشأن التفاصيل”.

 لكن بعد ذلك ، بقي العديد من علماء الرياضيات للتحدث مع فريدمان. يبدو أن حجم النتيجة المحتملة يستحق ذلك على الأقل. بعد يومين آخرين من المحادثة ، كان لدى إدواردز ما يكفي من الإحساس بما كان فريدمان يحاول القيام به لتقييم ما إذا كان قد نجح بالفعل. وفي صباح أول يوم سبت بعد المؤتمر ، أدرك ذلك.

 قال كيربي: “قال [إدواردز] ،” أنا أول شخص يعرف حقًا أن هذا صحيح “.

 بمجرد إقناع إدواردز ، ساعد في إقناع الآخرين. وبطريقة ما ، كان ذلك كافياً. لا توجد لجنة عالية للرياضيات تصدق رسميًا على صحة النتائج. العملية الفعلية التي يتم من خلالها قبول بيان جديد هي أكثر رسمية ، حيث تعتمد على موافقة أعضاء المجتمع الرياضي الذين من المفترض أن يكونوا على دراية أفضل.

 “الصدق في الرياضيات يعني أنك تقنع الخبراء بأن دليلك صحيح. قال تيتشنر “ثم يصبح صحيحًا”. “فريدمان أقنع جميع الخبراء بأن برهانه صحيح”.

 لكن هذا في حد ذاته لم يكن كافيًا لإعلان النتيجة في الميدان. للقيام بذلك ، احتاج فريدمان إلى بيان مكتوب لإثبات أن الأشخاص الذين لم يلتقوا به من قبل يمكنهم القراءة والتعلم بأنفسهم. وهذا ما لم ينتجه قط.

 قدم فريدمان الخطوط العريضة لإثباته – الذي كان كل ما لديه حقًا – إلى مجلة الهندسة التفاضلية. قام محرر المجلة ، Shing-Tung Yau ، بتعيينها إلى خبير خارجي لمراجعتها قبل اتخاذ قرار بنشرها – وهو إجراء وقائي قياسي في جميع النشرات الأكاديمية. لكن الشخص الذي كلفه بها لم يكن خبيرًا موضوعيًا: روبرت إدواردز.

 لا تزال المراجعة تستغرق وقتًا. كان البرهان نفسه بطول 50 صفحة ، ووجد إدواردز أنه كان يكتب صفحة من الملاحظات الرياضية الكثيفة لكل صفحة من صفحات الإثبات. مرت أسابيع وأصبح محررو المجلة قلقين. تلقى إدواردز مكالمات منتظمة من سكرتير المجلة يسأل عما إذا كان لديه حكم بشأن شرعية الدليل. في مقابلة عام 2019 نفسها ، أوضح إدواردز أنه أخيرًا ، أخبر المجلة أن الدليل كان صحيحًا ، على الرغم من أنه كان يعلم أنه لم يكن لديه الوقت للتحقق من ذلك بشكل كامل.

 “في المرة التالية التي اتصلت بها السكرتيرة قلت” نعم ، الورقة صحيحة ، أؤكد لكم. لكن لا يمكنني إصدار تقرير حكم مناسب في أي وقت قريب. “لذلك قرروا قبوله ونشره كما كان ،” قال.

 ظهرت الورقة في عام 1982. احتوت على أخطاء إملائية وأخطاء إملائية وكانت لا تزال في الواقع نفس الخطوط العريضة التي وزعها فريدمان مباشرة بعد الانتهاء من العمل. أي شخص يحاول قراءتها سيحتاج إلى ملء العديد من خطوات الحجة الجديدة بالكامل بمفرده.

 كانت قيود المقال المنشور واضحة على الفور ، لكن لم يتقدم أحد لمعالجتها. انتقل فريدمان إلى أعمال أخرى وتوقف عن إلقاء محاضرة على برهان بوانكاريه. بعد ما يقرب من عقد من الزمان ، في عام 1990 ، ظهر كتاب حاول تقديم نسخة يسهل الوصول إليها من الدليل. كتبه فريدمان وفرانك كوين ، ويعملان الآن في معهد فيرجينيا للفنون التطبيقية وجامعة الولاية ، على الرغم من أن كوين كتبها في الأساس.

 إذا قبلت فقط أن هذا صحيح ، يمكنك استخدامه بعدة طرق. لكن هذا لا يعني أنك تريد أن تأخذ كل شيء على أساس الإيمان.

 

 كان إصدار الكتاب بالكاد أكثر قابلية للقراءة. افترضت أن القراء جلبوا قدرًا معينًا من المعرفة الخلفية للكتاب لم يكن لدى أي شخص تقريبًا. لم تكن هناك طريقة لقراءتها ومعرفة الدليل من الألف إلى الياء.

 قال تيتشنر: “إذا كنت محظوظًا بما يكفي لأن تكون حول أولئك الأشخاص الذين فهموا الدليل ، فلا يزال بإمكانك تعلمه”. “لكن الأشخاص الذين عادوا إلى المصادر [المكتوبة] أدركوا أنهم لا يستطيعون ذلك.”

 وعلى مدى عقود ، بقيت الأشياء: واحدة من أكثر النتائج المدهشة في تاريخ الرياضيات كانت معروفة من قبل قلة من الناس ولا يمكن لأي شخص آخر الوصول إليها.

 ربما يكون باقي عالم الرياضيات قد تحرك كما فعل فريدمان ، لكن برهانه كان هائلاً للغاية بحيث لا يمكن تجاهله تمامًا. لذلك تكيف المجتمع مع مجموعة الظروف الغريبة. تبنى العديد من الباحثين إثبات فريدمان كصندوق أسود. إذا افترضت أن برهانه صحيح ، يمكنك إثبات الكثير من النظريات الأخرى حول المشعبات رباعية الأبعاد ، وقد فعلها الكثير من علماء الرياضيات.

 قال باول: “إذا قبلت فقط أن هذا صحيح ، يمكنك استخدامه بعدة طرق”. “لكن هذا لا يعني أنك تريد أن تأخذ كل شيء على أساس الإيمان.”

 وبمرور الوقت ، عندما دخل الباحثون الأصغر سنًا في الرياضيات وكان بإمكانهم اختيار العمل في أي مجال يريدونه ، اختار عدد أقل العمل مع الدليل على الإطلاق.

 فهم فريدمان. قال: “ليس من المرضي العمل في منطقة لا تفهم فيها النظرية الأساسية”. “في الأساس ، نشأ الموقف حيث لم يعرف أي شخص أقل من 40 عامًا الدليل ، وكان من المخيف بعض الشيء أن يتم فقد هذه المعلومات الصغيرة في النهاية.”

 في هذه المرحلة ، قرر تيتشنر – الذي تعلم الدليل في أوائل التسعينيات من فريدمان نفسه – إطلاق مهمة إنقاذ. لقد أراد إنشاء نص من شأنه أن يسمح لأي شخص مؤهل بمعرفة الدليل بمفرده.

 قال: “لقد قررت أن الوقت قد حان لكتابة شيء يمكنك فهمه”.

 

 بدأ Teichner بالعودة مباشرة إلى المصدر. في عام 2013 ، طلب من فريدمان أن يلقي سلسلة من المحاضرات على مدار فصل دراسي في معهد ماكس بلانك يصف الدليل – نسخة حديثة من المحادثات التي ألقاها قبل 30 عامًا للإعلان عن النتيجة. وافق فريدمان بشغف.

 “لقد كان قلقًا بالتأكيد من ضياعها. هذا هو السبب في أنه كان داعمًا للغاية ، “قال تيتشنر.

 في عام 1981 ، كان فريدمان قد ألقى محاضرات أمام حفنة من كبار الشخصيات في هذا المجال – الخبراء الذين كان بحاجة إلى كسبهم. هذه المرة كان جمهوره عبارة عن مجموعة من 50 عالم رياضيات شابًا جمعهم Teichner لتلقي الهراوة. كانت المحاضرات ، التي ألقاها فريدمان عبر شريط فيديو من مكتبه في سانتا باربرا ، حدثًا في حد ذاتها في عالم الطوبولوجيا.

 قال راي ، الذي كان طالب دراسات عليا في جامعة رايس في هيوستن في ذلك الوقت: “في مؤسستي اعتدنا أن نعقد محاضرات فريدمان بعد ظهر يوم الجمعة ، حيث كنا نحصل على بيرة ونشاهده يتحدث عن برهانه”.

 بعد المحاضرات ، قاد عالم الرياضيات ستيفان بيرنس جهدًا لتحويل ملاحظات فريدمان إلى ملاحظات محاضرة أكثر رسمية. بعد عدة سنوات ، في عام 2016 ، ألقى باول وعلماء رياضيات آخرون ، بما في ذلك بيرنس ، سلسلة جديدة من المحاضرات بناءً على تلك الملاحظات ، لمواصلة عملية تحويل عمل فريدمان إلى شيء أكثر ديمومة.

 قال راي: “ألقى مارك محاضرات وبدأنا في ملء المزيد والمزيد من التفاصيل لملاحظات المحاضرة هذه ثم انتقلت من هناك نوعًا ما”.

 على مدى السنوات الخمس التالية ، نظم باول وراي ومساعدوهما الثلاثة فريقًا من علماء الرياضيات لتحويل برهان فريدمان إلى كتاب. المنتج النهائي ، الذي صدر في يوليو ، هو ما يقرب من 500 صفحة ويتضمن مساهمات من 20 مؤلفًا مختلفًا. يأمل فريدمان أن ينعش الكتاب البحث في مجال الرياضيات الذي أحدث ثورة فيه.

 ابتكر مارك باول وأرونيما راي نسخة جديدة بطول الكتاب لإثبات فريدمان لأنهم أرادوا فهمه لأنفسهم – ومشاركته مع جيل جديد من علماء الرياضيات.

 فيكتوريا جرينر ستيفان فريدل

 “أعتقد أن الكتاب يأتي في لحظة جيدة. الناس ينظرون إلى المشعبات الأربعة بعيون جديدة “.

 يحسن الكتاب من العرض المكتوب لإثبات فريدمان بعدة طرق. أثناء كتابة الكتاب ، اكتشف المؤلفون عددًا قليلاً من الأخطاء في الحجج التي استخدمها فريدمان لإثبات نظريات مختلفة في مقالة الدورية الأصلية. الكتاب يصلح هؤلاء. كما يوفر أيضًا مقدمة شاملة لطوبولوجيا Bing ، وهي منطقة الرياضيات التي استخدمها فريدمان لإثبات أن الفجوات في تصميماته لمقبض كاسون وقرص ويتني لا تهم. وإجمالاً ، تم تصميم الكتاب ليكون تربويًا وسهل الاقتراب منه. تقدم الفصول الأولى الخطوط العريضة للإثبات الذي تملأه الفصول اللاحقة.

 قال باول: “إن الحصول على ملخصات ، ثم ملخصات أكثر تفصيلاً ، ثم تفاصيل كاملة ، من المفترض أن يجعله قابلاً للقراءة”. “يمكنك الحصول على الصورة الكبيرة لما سيحدث قبل أن تحصل على كل التفاصيل. لكن لا يزال لدينا كل التفاصيل “.

 يأمل المحررون في إعادة تقنيات فريدمان القوية إلى الاتجاه السائد للتفكير الرياضي. يُفصِّل الجزء الثالث من الكتاب أكبر المشكلات المفتوحة في الطوبولوجيا رباعية الأبعاد التي قد يتعامل معها الباحثون بمجرد تزويدهم بمعرفة برهان فريدمان.

 قال راي: “هذا الجزء من الكتاب لا علاقة له على الإطلاق بإثبات عمل فريدمان الأصلي”. “يتحدث عن كيفية استخدام هذا للقيام بما سيأتي بعد ذلك.”

 

 وبالفعل ، أنتج العديد من علماء الرياضيات المشاركين في الكتاب بحثًا جديدًا يعتمد على أفكار فريدمان. وجدت ورقة واحدة ، نُشرت في عام 2013 في بداية عملية الكتاب ، بعض الاستخدامات الجديدة لتقنيات خاملة سابقًا في طوبولوجيا Bing. آخر ، من العام الماضي ، يستخدم الأفكار التي تعلمها المحررون في تجميع الكتاب لمعالجة سؤال حول “الجراحة” على عقد في متشعبات رباعية الأبعاد.

 قال تيتشنر: “إنها تتحرك الآن إلى الأمام لأنهم مرتاحون لاستخدام نظرية تضمين القرص”.

 يخدم الكتاب غرضًا أساسيًا في مجال الرياضيات ، وربما غرضًا أساسيًا. لكن المحررين يقولون إن الدافع وراءهم أكثر من مجرد غايات عملية لاستكمال المشروع الطويل. عندما بدأوا العمل ، كان دليل فريدمان جميلًا ، لكنه مخفي. الآن ، أخيرًا ، يتم عرضه بالكامل.

 

 أعلن فريدمان إثباته في جامعة كاليفورنيا ، سان دييغو ، وليس في جامعة سان دييغو. تم تنقيح المادة وفقا لذلك. كما تم تعديل الشكل الذي يصور المنحنيات المتقاطعة ليعكس بشكل أكثر دقة محتويات المقالة.

 

 

الصورة لفريدمان